Variance Depth Map
很早就想总结下这类upsample算法。
准备工作
参考论文1，利用硬件Filter先得到:
$$ \mu = M_1 , \sigma^2 = M_2 - M_1^2 $$
$M_1$是粒子depth的平均值，
$M_2$是粒子depth平方的平均值。
Variance Shadow Mapping
考虑光源视角的深度为一个随机变量x。由切比雪夫不等式单边公式(推导2)， 深度大于给定值t的概率有一个上界： $$p(x \geq t) \leq \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + (t-\mu)^2}$$
论文1假设把深度为d1的平面投影到深度为d2的平行平面，那么在深度为d1的平面边缘，可以假设投影深度正好为d2的概率为p，那么深度的期望为： $$\begin{aligned} & E(x) =pd_2+(1-p)d_1 \\ & E(x^2) =pd_2^2+(1-p)d_1^2 \\ & \sigma^2 =E(x^2)-E(x)^2 = (p-p^2)(d_2-d_1)^2 \end{aligned}$$
深度小于d2的概率的上界： $$P_{max} = \frac{\sigma^2}{\sigma^2 + (d_2-\mu)^2} = p$$
化简后刚好为 p，当然这是一种理想情况，只有一次投影，一个遮挡物， 但仍然可以用上述等式估算 p (其实就是一个微分级别的PCF值)。
但是，在Depth变化较大的区域(方差较大)，VSM会有缺陷(Light bleeding)。因为根据切比雪夫不等式，在方差较大的情况下，(t-μ)必须足够大，才能让不等式右边趋于0。于是又有了LVSM来解决这个问题。
Variance Depth Map
VDM3把概型改成了正态分布的CDF：[wiki]4 $$CDF = \frac12\left[1 + \mathrm{erf}\left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right]$$
erf的计算参考龚大的文章5
VDM不光能用在粒子的渲染。凡是半透明、需要巨大填充率、颜色变化较平滑的内容，都可以用VDM来渲染，最后一次混合到全分辨率的场景上。比如大气效果、体积光，都符合这个条件。
其他
这类都是利用统计手段估计一个较合理的upsample混合方式，非常棒的想法。